第二十四章首日竞赛

2009年，适逢国际数学奥林匹克IMO举办50届，国际数学奥林匹克委员会举行了50周年庆典活动。

在这场50周年庆典，出现了很多闻名世界的数学家。

庆典结束后，则是正式比赛，来自全球105个国家和地区的近560名学生将参加本届比赛。

整个比赛持续一周时间。

比赛选手将在这为期一周的时间内攻克数学难题，争夺数学奥林匹克的金银铜牌。每个国家的参赛选手，都抱着为国争光的决心前来征战世界。

3月15日，竞赛拉开帷幕

IMO一共六道题，今天考三题，明天考三题，每题7分，满分是42分。每个竞赛日的竞赛时间为4.5个小时，可携带任何文具及作图工具，一切电子设备不被允许带入赛场。

因为竞赛时间较长，各选手可自带食物饮料进场，可并携带不多于三本的参考资料。

但是秦元清除了带了一些吃喝的，其他参考资料一本没带，因为按照以前的情况，参考资料基本上没有什么用的，出题人早已考虑到这些，要是参考资料能够找到解决办法，说明出题人的出题水平太烂了。

这就如同国内考试，开卷考往往比闭卷考难得多。

因为本国选手拿到题目，都已经是换成本国文字，所以选手拿到试卷，都不会存在任何语言文字的障碍。

秦元清拿到试卷，只有三题，第一题是最简单的，要是连第一题都不会做，那么后面两题都不用考虑了。

秦元清很冷静，第一道题最简单，是送分题，可是同样的，一不小心就变成了送命题。

“1、n是一个正整数，a1，a2.....ak（k≥2）是{1，2，......，n}中的不同整数，并且n|ai（ai 1-1）对于所有i=1，2，.......，k-1都成立，证明：ak（a1-1）不能被n整除。”

秦元清看了三遍题目，心中暗骂一下提供这题的人以后生孩子没屁眼，竟然暗设陷阱，一个不小心就会答错掉。

秦元清开始作答，首先利用数学归纳法证明：对任意的整数i（2≤i≤k），都有被整除，得出当i=2时，由已知得能被乘除的结论成立。一步步以此展开，最后得出，ak（a1-1）不能被n整除的结论。

然后秦元清又看向第二道题。

“△ABC外接圆的圆心为O，P、Q分别在线段CA、AB上，K、L、M分别是BP、CQ、PQ的中点，圆Г过K、L、M并且与PQ相切。证明：OP=OQ。”

秦元清这一题审题完成，倒是觉得这一题比上一题容易一些，没有设陷阱。先是做了一个圆，然后化作△ABC，然后又作出CA、AB线段以及P、Q二点，然后标出BP、CQ、PQ的中点K、L、M。最后作出圆Г。

随后以直线PQ与圆Г相切，相切点M，然后通过弦切角定理得出∠QMK=∠MLK。由于点K、M分别是BP、PQ的中点，所以KM∥BQ，从而得出∠QMK=∠AQP。

因此得到∠MLK=∠AQP。

同理，∠MKL=∠APQ。

根据角的相等，得到△MKL∽△APO，从而得到MKML=APAQ

因为K、L、M分别是线段BP、CQ、PQ的中点，所以得到KM=BQ2，LM=CP2，将此带入上式得BQCP=APAQ，将式子转为AP·CP=AQ·BQ。通过圆幂定理知OP2=OA2-AP·CP=OA2-AQ·BQ=OQ2

所以，得出结论OP=OQ。

秦元清连检查都没有检查，将抽向的数学问题转为图像，这个是他擅长的地方，他有十全的把握证明。

紧接着秦元清看向第三题，“3、S1，S2，S3，......是严格递增的正整数数列，并且它的子数列SS1、SS2、SS3，.....和SS1 1，SS2 1，SS3 1......都是等差数列。证明：S1，S2，S3......是一个等差数列。”

看着这一题，秦元清微皱起眉头，这一题明显比前面两道题难得多，秦元清将已知条件稍微捋了一下，这一道题融合了等差数列、以及转换法。

秦元清一步一步地展开，通过数列以及子数列都是严格的递增的正整数数列，设Ssk=a （k-1）d1，SSk 1=b （k-1）d2（k=1，2......，a、b、d1、d2∈N ）。

将问题转为函数、数列后，以SkSk 1Sk 1及{Sn}的单调性，知对任意的正整数k，有SSkSsk 1≤SSk 1。即a （k-1）d1b （k-1）d2≤a kd1

因此a-b≤（k-1）（d2-d1）≤a d1-b。由k的任意性知d2-d1=0，得到d2=d1。。。。。。

当秦元清写下证明结论，摸了一下额头，发现已经冒汗了，轻轻地吐出一口浊气。

随后秦元清站了起来，做了个交卷的手势。监考官走到他面前，将他的考卷装入文件袋密封。

秦元清轻松自若的离开考场，毫无压力。既然作答了，那么就不会有错。

当秦元清离开考场，才知道他是第一个交卷的，华夏奥数队的队员都还没交卷，其他国家的奥数队也都还没有一个交卷。

“首日竞考感觉如何？”副领队看到秦元清，连忙问道。

“一般般啦，很轻松！”秦元清潇洒地摆摆手：“还没有集训考试难，放心，42分跑不了！”

副领队闻言顿时松了口气，在这一支华夏奥数队，秦元清是王牌存在，是压舱石，既然秦元清这么说，那说明今年的难度不大。

“就是第一道题，也不知道哪一国出题的，设了个陷阱，一不小心就会做错。太缺德了，和我们这些高中生耍心眼！”秦元清吐槽地说道。

然后秦元清就看到不远处，一个人高马大的白人看了过来，眼神不善，副领队连忙用手捂住秦元清的嘴，小声道：“听说第一道题是澳大利亚出题的，那人是澳大利亚奥数队的副领队！”

秦元清无语。

自己这是背后说人坏话，还被人家听到，这太伤人品了。

不过一听是澳洲，顿时觉得这澳洲简直是缺德，他重生前澳洲就不知道哪根筋搭错了，和华夏抬杠着，导致网上骂声一片。现在，其他两道题都很正常，特别是最后一题出得很有水平，就第一道题却玩心眼，这澳洲真是脑袋不正常。

秦元清就搞不明白，澳洲这样脑残，怎么有那么多华夏人移民澳洲，结果脑袋瓜也被影响，比如2020年年初那声名大噪的梁某研，态度蛮横无理，甚至还大喊救命，声称有人骚扰她，要不是有视频，还真的是有理说不清。被驱逐出境，竟然还要华夏人跟她道歉，报销机票，简直脑袋瓜生锈了。

大概半个小时，有印度人走出考场，秦元清好奇道：“副领队，阿三的数学很强？”

副领队说道：“那是自然，印度人的数学水平在世界范围内也能排上号，仅次于菲奖的拉马努金奖，就是以印度数学家拉马努金的名字命名。”

“拉马努金这人是厉害，拉马努金猜想系列属于比较厉害的。”秦元清微微颔首。

至于随后出来的是俄国选手，当初苏联时代，数学就非常的强，诞生了很多伟大的数学家，谢尔盖、德里费尔德等都获得菲奖，继承了大部分苏联遗产的俄国，在数学自然也是非常强的，比如格里戈里·佩雷尔曼更是破解了庞加莱猜想的猛人，因为他证明庞加莱猜想，不知道相关联的几千个数学猜想因此成了定理，可谓以一己之力推进几何学、拓扑学的历史进程。

哪怕佩雷尔曼是怪人，不喜欢接受采访，不喜欢抛头露面，可是毫无疑问，佩雷尔曼绝对是当今世界最伟大的数学家之一。

等到华夏奥数队的人员到齐，大家才一起回了酒店，没有人会去查答案，那只会干扰次日的比赛。

秦元清回到主场，用电脑联网后查找世界数学强国，美利坚、欧洲、俄国、东瀛都属于世界数学强国，都诞生了不止一位菲奖获得者，而美利坚又是数学第一强国，不管是从大学数学专业排名，还是数学研究所、数学专业杂志等，都毫无争议是世界第一数学强国。

而华夏，虽然这十年经常得到IMO金牌，但是却算不上数学强国，顶多算一个数学大国。

秦元清又想到前几天在外面所见所闻，欧美人普通人计算能力糟糕非常，但是其教育又以培养孩子的兴趣，数学是一门讲究天赋、逻辑的学科，要求很高，没有数学天赋、逻辑思维不足，根本就不会进入数学大门，而那些有兴趣的人，因为是自己敢兴趣，往往自学能力很强，自己感兴趣的往往是事倍功半。

同样的，数学思维的养成也非常重要。华夏是个人口大国，又是普及九年义务教育，追求的是公平、公正，这就导致需要数量庞大的教师队伍，对于华夏而言，首先是先满足量，最后才是质。这就导致教育过程中，是以填鸭式的教学方式，这样培养下来的学生考试成绩差不多哪里去，但是思维却是个问题。

到了大学阶段，华夏大学生的数学能力与国外就体现出差距了，国外的数学天才能够从小得到很好的数学思维培养，厚积薄发下，大学阶段就展现了高超的能力。

国外是精英教育，国内是平民教育，教育体制的差距，就导致了结果不一样。

而国内的教育制度，又导致了国内培养了数以百万计的工程师，优质又廉价的工程师劳动力，以至于到了2018年左右，‘工程师红利’成为了一个新的热词。